Studia muzyczne ukończyła w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej im. Ignacego Paderewskiego w Poznaniu w klasie Augustyna Boczka, uzyskując dyplom z wyróżnieniem. W latach 1962-63 studiowała w Konserwatorium Santa Cecilia w Rzymie w klasie Silvio Clerici, następnie w latach 1967-68 w Królewskim Konserwatorium w Brukseli, w klasie kameralnej Louisa Pouleta, uzyskując dyplom z odznaczeniem. W tym samym czasie brała udział w letnich kursach muzycznych w Sienie (Włochy), otrzymując dyplom w zakresie muzyki kameralnej oraz fletu w klasie Severino Gazzelloniego.
W latach 1962-85 była pierwszą flecistką w Orkiestrze Teatru Wielkiego oraz Filharmonii Narodowej w Warszawie. Koncertowała w kraju i za granicą, występowała w Polskim Radiu oraz Telewizji Polskiej. Repertuar artystki obejmuje zarówno muzykę barokową, klasyczną, jak i współczesną.
Od 1972 Elżbieta Dastych-Szwarc prowadzi klasę fletu w Akademii Muzycznej w Warszawie, obecnie na stanowisku profesora zwyczajnego. Jej absolwentami są m.in:. Jadwiga Kotnowska, Krzysztof Kaczka, Joanna Gatniejewska, Krzysztof Malicki, Agnieszka Karwowska, Agata Igras-Sawicka. Współpracuje z Liceum Muzycznym oraz Zespołem Państwowych Szkół Muzycznych w Warszawie. W latach 1993-94 prowadziła mistrzowską klasę fletu w Seulu. Od 2003 współpracuje z Keimyung Chopin Academy of Music w Daegu w Korei Południowej. Od wielu lat prowadzi również warsztaty i kursy fletowe, m.in. w Olsztynie, Gdańsku i Koszalinie. Zapraszana jest, z ramienia Ministerstwa Kultury i Dziedzictwa Narodowego, na konsultacje do szkół muzycznych I i II stopnia na terenie całej Polski. Konsultacje łączy z wykładami na temat metodyki gry na flecie oraz zjawisk i procesów fizjologicznych, warunkujących grę i doskonalenie umiejętności techniczno-artystycznych. Bierze też udział w pracach jury ogólnopolskich i międzynarodowych konkursów (Kraków, Chełmno, Włoszakowice, Lwów).